ベクトル解析

高校レベルで習うベクトル演算は内積程度ですが、その他にも多くの定義された演

算があります。 まずは、復習をする意味で内積の定義から始めましょう。ただし、ベ

クトルは太字のイタリック体で表しています。例えば、ベクトルの成分表示は次のよ

うになります。

Ａ＝（A_X、A_Y、A_Z）

１．内積

皆さんがご存じのように、内積の定義は以下のようになります。

Ａ ・Ｂ＝| A |・| B | COSθ＝A_XB_X＋A_YB_Y＋A_ZB_Z

ここで、 絶対値表示されているベクトルはベクトルの大きさを表し、 XYZの添え字

が付いているAとBは上記で説明したベクトルの成分を表しています。また、θは二

つのベクトルによって挟まれてできる角度です（図１参照）。

上図においては、ベクトルを表すためにアルファベットの上に矢印を付けました。

ベクトルの微分は以下のように定義されます。

ｄA /ｄｔ＝（ｄA_X/ｄｔ、ｄA_Y/ｄｔ、ｄA_Z/ｄｔ）

したがって、ベクトルの内積の微分は、

ｄ（A・B）/ｄｔ＝（ （ｄA_X/ｄｔ）B_X＋（ｄB_X/ｄｔ）A_X、（ｄA_Y/ｄｔ）B_Y＋（ｄB_Y/ｄｔ）A_Y

、（ｄA_Z/ｄｔ）B_Z＋（ｄB_Z/ｄｔ）A_Z )

＝（ （ｄA_X/ｄｔ）B_X、（ｄA_Y/ｄｔ）B_Y、（ｄA_Z/ｄｔ）B_Z ）

＋（ A_X（ｄB_X/ｄｔ）、A_Y（ｄB_Y/ｄｔ）、A_Z（ｄB_Z/ｄｔ） ）

＝（ｄA/ｄｔ）・B＋A・（ｄB/ｄｔ）

となります。

特に、A＝B の場合は、

ｄ（A・A）/ｄｔ＝ｄ（|A |^２）/ｄｔ＝２（ｄA/ｄｔ）・A ＝２A ・（ｄA/ｄｔ）

となることに注意してください。

２．外積

外積は内積と共に、 ベクトル演算における掛け算に相当するもので、 内積の計算

の結果はスカラーになりますが、外積の計算の結果はベクトルになります。

では、外積の定義を示します（図２参照）。

Ａ  X Ｂ＝( A_YB_Z−A_ＺB_Y 、A_ZB_X−A_XB_Z 、A_XB_Y−A_YB_X ）

右辺の式の導出

また、上のベクトルの大きさは、

| Ａ  X Ｂ |＝| A |・| B | SINθ

となります。   Ａ  X Ｂ はＡ とＢ の両方に対して垂直であることに注意してください。

そして、Ａ  X Ｂ の向きはＡ からＢ に向かってネジを回したときの進む方向となって

います。よって、（Ａ Ｘ Ｂ ）・Ａ ＝（Ａ Ｘ Ｂ ）・Ｂ ＝０ は容易に類推できます。

Ａ  X Ｂ ⊥Ａ 、Ｂ の証明

ベクトルの外積を使えば、  三角形の面積や六面体の体積をコンパクトな形で表現

できます。以下の三角形の面積Sですが（図３参照）、

S＝| A X B | / ２

となります。

また、以下の六面体の体積Vは

V＝（ A X B ）・C

と表現できます（図４参照）。 θ_１はA とB の間の挟む角であり、θ_２はA X B とC

の間の挟む角です。 上の二つの関係を、 ベクトルの内積や外積の定義にもどって

証明してみてください。

物理でも頻繁に使われる、ベクトルの外積の微分を考えてみます。

ｄ（A X B ）/ｄｔ

＝（ （ｄA_Y/ｄｔ）B_Z＋（ｄB_Z/ｄｔ）A_Y−（ｄA_Z/ｄｔ）B_Y−（ｄB_Y/ｄｔ）A_Z、

（ｄA_Z/ｄｔ）B_X＋（ｄB_X/ｄｔ）A_Z−（ｄA_X/ｄｔ）B_Z−（ｄB_Z/ｄｔ）A_X、

（ｄA_X/ｄｔ）B_Y＋（ｄB_Y/ｄｔ）A_X−（ｄA_Y/ｄｔ）B_X−（ｄB_X/ｄｔ）A_Y ）