上式に関する補足説明
空気抵抗がある場合の式について、 ｒが０に近づく極限においてその式が空気抵抗
がない場合の式になることを示します。まず、ＥＸＰ（Ｘ）は次のように展開できます。
ＥＸＰ（Ｘ）＝１＋Ｘ＋Ｘ２/２＋Ｘ３/６＋・・・・・
したがって、ｒ→０の極限においてＥＸＰ（−ｒｔ/ ｍ）は以下の式で近似できます。
ＥＸＰ（−ｒｔ/ ｍ）＝１＋（−ｒｔ/ ｍ）＋（−ｒｔ/ ｍ）２/２
上式で、三次以降の項は無視しました。では、速度の式から検討してみましょう。
Ｘ方向： ＶＸ＝Ｖ0 ＣＯＳθ・EXP（−ｒｔ/ ｍ）
Ｙ方向： ＶＹ＝（Ｖ0 ＳＩＮθ＋ｍＧ/ｒ）・ＥＸＰ（−ｒｔ/ ｍ）−ｍＧ/ｒ
＝Ｖ0 ＳＩＮθ・ＥＸＰ（−ｒｔ/ ｍ）＋（ｍＧ/ｒ）・｛ ＥＸＰ（−ｒｔ/ ｍ）−１｝
ｒ→０の極限において、Ｘ方向の式とＹ方向の式の第一項がそれぞれ、Ｖ0 ＣＯＳθ、
Ｖ0 ＳＩＮθになることは明白なので、Ｙ方向の式の第二項だけを考えます。
第二項（Ｙ方向）： （ｍＧ/ｒ）・｛ ＥＸＰ（−ｒｔ/ ｍ）−１｝
＝（ｍＧ/ｒ）・｛ （−ｒｔ/ ｍ）＋（−ｒｔ/ ｍ）２/２ ｝
＝−Ｇ ｔ ＋ ｒＧ ｔ２/ ２ｍ → −Ｇ ｔ
以上から、速度のＹ方向成分が Ｖ0 ＳＩＮθ−Ｇ ｔ に近づくことが判ります。
次に、位置の式を検討します。前ページの式を少し変形すると、
Ｘ方向： （ｍＶ0/ｒ）・ＣＯＳθ・｛ １−ＥＸＰ（−ｒｔ/ ｍ） ｝
Ｙ方向： （ｍ/ｒ）・｛ Ｖ0ＳＩＮθ＋（ｍＧ/ｒ）｝・｛ １−ＥＸＰ（−ｒｔ/ ｍ） ｝−（ｍＧ ｔ/ｒ）
ｒ→０の極限において、位置のＸ方向成分は、
Ｘ方向： −（ｍＶ0/ｒ）・ＣＯＳθ・｛ （−ｒｔ/ ｍ）＋（−ｒｔ/ ｍ）２/２ ｝
＝−Ｖ0 ＣＯＳθ・（−ｔ ＋ ｒ ｔ２/ ２ｍ） → （Ｖ0 ＣＯＳθ） ｔ
また、位置のＹ方向成分は、
Ｙ方向： −（ｍ/ｒ）・｛ Ｖ0 ＳＩＮθ＋（ｍＧ/ｒ）｝・｛ （−ｒｔ/ ｍ）＋（−ｒｔ/ ｍ）２/２｝
−（ｍＧ ｔ/ｒ）
＝−｛ Ｖ0 ＳＩＮθ＋（ｍＧ/ｒ）｝・（−ｔ ＋ ｒ ｔ２/２ｍ）−（ｍＧ ｔ/ｒ）
＝−Ｖ0 ＳＩＮθ・（−ｔ ＋ ｒ ｔ２/２ｍ）−Ｇ ｔ２/２
→ （ Ｖ0 ＳＩＮθ） ｔ−Ｇ ｔ２/２
これで、全ての式の検証が終わりました。