連立方程式の行列解


 

連立方程式行列を使って解くことを考えましょう。 最初は、未知数個の場合

を考えます。以下に、連立方程式を示しました。

 

RENRITU-HOUTEISHIKI-NO-GYORETU-SHIKI-2X2.GIF - 3,530BYTES

 

上の行列方程式を解いてみます。まず、左から両辺に逆行列をかけます。

 

RENRITU-HOUTEISHIKI-NO-GYORETU-SHIKI2-2X2.GIF - 5,550BYTES

 

ここで、逆行列は以下のように計算されます。

 

RENRITU-HOUTEISHIKI-NO-GYORETU-SHIKI3-2X2.GIF - 3,825BYTES

 

この結果を使って行列方程式を解くと以下のようになります。

 

RENRITU-HOUTEISHIKI-NO-GYORETU-SHIKI4-2X2.GIF - 3,804BYTES

 

2X2行列の逆行列の計算

 

次に、3X3行列を使ってつの未知数を持つ連立方程式を解きます。

 

RENRITU-HOUTEISHIKI-NO-GYORETU-SHIKI-3X3.GIF - 4,114BYTES

 

3X3行列の逆行列の計算

 

この場合も、左から逆行列をかけると、

 

RENRITU-HOUTEISHIKI-NO-GYORETU-SHIKI2-3X3.GIF - 4,710BYTES

 

行列式Aは以下のように計算されます。

 

RENRITU-HOUTEISHIKI-NO-GYORETU-SHIKI3-3X3.GIF - 3,729BYTES

 

したがって、行列方程式は以下のように解けます。

 

RENRITU-HOUTEISHIKI-NO-GYORETU-SHIKI4-3X3.GIF - 3,957BYTES

 

科学計算においては、いろいろな方程式を差分化して解くことになります。 この時

大きな力を発揮するのが行列による計算法です。

 

それでは逆行列を使わない方法で連立方程式を解いてみます。 そのやり方は以

下のようになります。まず上で出てきた未知数の場合について考えてみます。

 

1.二番目の式、三番目の式を一番目の式で両辺とも引く

 

RENRITU-HOUTEISHIKI-NO-GYORETU-SHIKI-3X3-P2.GIF - 5,023BYTES

 

2.三番目の式を二番目の式で両辺とも引く

 

RENRITU-HOUTEISHIKI-NO-GYORETU-SHIKI2-3X3-P2.GIF - 5,982BYTES

 

3.三番目の式からZの値を求める

4.3の結果と二番目の式からYの値を求める

5.3と4の結果と一番目の式からXの値を求める

 

赤線で囲んだ部分をにすることがポイントです。  式を引く時に0になるように、未

知数の前の係数をうまく調節してください。 また対角部分になる場合は、0で

ないものと式全体を入れ換えてから次の手順に進んでください。

 

最終的に対角部分に一つ以上の0が消えずに残った場合は、 連立方程式の解

一組とはなりません

 

 

課題(その1)

 

次の連立方程式を逆行列を使わずに解いてください。

 

(1) 5X+2Z=4、X+3Y+Z=1、2X+Y+3Z=0

 

 


 

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