無理数であることの証明
ルート２の証明
背理法を使って、ルート２が有理数でないことを証明してみましょう。 まず、 ルート
２が有理数だとします。 すると、 ルート２は自然数の分子・分母で構成された既約
分数で表現できます。
（２）１/２＝Ｐ/ Ｑ
ここで、両辺を二乗すると、
２＝Ｐ２/ Ｑ２ −＞ Ｐ２＝２Ｑ２・・・・・（１）
上記の右の式から、Ｐ２が２の倍数であることが判ります。 さらに、Ｐが２の倍数か
どうかを考えてみます。
Ｐ＝２Ｍ＋１（奇数）
とおき両辺を二乗して、
Ｐ２＝（２Ｍ＋１）２＝４Ｍ２＋４Ｍ＋１＝２（２Ｍ２＋２Ｍ）＋１（奇数）
以上から、Ｐが偶数（２の倍数）でなければ、Ｐ２は偶数になりません。したがって、
Ｐ＝２Ｎ（偶数）
とおけます。ゆえに、上の結果を（１）に代入して、
４Ｎ２＝２Ｑ２ −＞ Ｑ２＝２Ｎ２
上記の右の式から、Ｑもまた２の倍数になります。 この結果は、ルート２が既約分
数であるという仮定に反しています。 つまり、ルート２は無理数だという結論になり
ます。
ルート３の証明
ルート３の場合も、ルート２のように証明できます。
Ｐ２＝３Ｑ２
から、Ｐが３の倍数であることを証明できれば、後はまったく同じやり方で証明でき
ます。
Ｐ＝３Ｍ＋１ または Ｐ＝３Ｍ＋２
とおき両辺を二乗して、
Ｐ２＝（３Ｍ＋１）２＝９Ｍ２＋６Ｍ＋１＝３（３Ｍ２＋２Ｍ）＋１
または
Ｐ２＝（３Ｍ＋２）２＝９Ｍ２＋１２Ｍ＋４＝３（３Ｍ２＋４Ｍ＋１）＋１
以上から、Ｐが３の倍数でなければ、Ｐ２は３の倍数になりません。 したがって、Ｐも
また３の倍数になります。