四色問題
二次元平面にあるいくつの領域を異なる色で色分けすることを考えます。規則は極
めて単純です。 境界線の両側で色が同じになってはいけません。 まずは、 境界点
の状況でどうなるかを考えます。図１は一つの点で三つの領域が接する場合です。
＜境界点の状況（その１）＞
（図１、Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）
それぞれの領域が互いに接している為、３色が必要になることが判ります。 図２は
一つの点で四つの領域が接する場合です。 一つの領域に接している二つの領域
は互いに接していない為、２色で済むことが判ります。
＜境界点の状況（その２）＞
（図２、Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）
つまり、一つの点で接する領域の数が奇数なら３色となり、 偶数なら２色となること
に注意してください（図３及び図４参照）。
＜境界点の状況（その３）＞
（図３、Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）
＜境界点の状況（その４）＞
（図４、Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）
図３では、図４と違って領域を交互に２色で色分けしていくと、 最後の領域を色分け
できません。以上から、平面上にある領域を色分けする為には、 最低３色が要るこ
とが判ります。
次に、 よりグローバルな図形の配置が色の塗り分けにどう影響するかを検討して
みます。図５は色分けに４色を必要とする一つの例です。
＜グローバルな図形と４色分け＞
（図５、Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）
点Ａから点Ｆは、図１のような状況です。 点Ｄと点Ｆでは、赤と青以外の色が必要に
なります（外側の領域に関して）。また、線分ＡＣと線分ＢＥでは、これらの領域が接
している為、さらにもう１色必要になります。
課題（その１）
色の塗り分けに５色必要な場合があるかどうか議論してください。 もし、 ある場合
は、具体的にそのパターンを作図してください。
図５の赤色の領域を中心に、 各点の関係を位相幾何学的に作図してみます（図６
参照）。 一つの領域の周りに三つの領域があり境界線を通して接している場合、 さ
らに、 周りにある領域が互いに境界線を通して接していると、 色分けに４色要るこ
とが判ります。
＜周りに三つの領域がある場合＞
（図６、Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）
同様に、周りにある領域が一つの場合と二つの場合を考えてみてください。それぞ
れ、色分けに２色と３色が要ることがすぐに判ります。 図７と図８は周りにある領域
が四つの場合と五つの場合です。
＜周りに四つの領域がある場合＞
（図７、Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）
＜周りに五つの領域がある場合＞
（図８、Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）
従って、 周りにある領域の数が奇数なら４色、 偶数なら３色必要であることが結論
付けられます （領域の数が２以上の場合）。 平面上にある領域を色分けする為に
は、１色増えて少なくても４色要ることが判ります。
課題（その２）
空間をいくつかの領域に分けて色分けするとき、最低何色の色が必要ですか。 因
みに、線分を色分けする為には、 少なくても色が２色必要になります。 次元数と色
の数には何か規則性はありますか。
課題（その３）
円周や球面など閉じた空間における議論を行ってください。開いた空間との違いは
何ですか。 また、 四次元空間や五次元空間など高次元空間での色分けの問題は
どうなりますか。