三次元空間で接する球の最大数
前ページの平面上に置かれた球の検討結果から、少なくても六つの球と接すること
は判っています。 上下方向にさらに三つずつ球を置けると仮定して議論を進めま
す。つまり、真ん中の球は周辺にある十二の球と密に接することになります。これを
証明するために、正多面体の所で議論した正二十面体の結果を利用します。
正二十面体の頂点数は１２でした。 これらの方向は三次元的に対称であり、 頂点
方向に周辺の球の中心を配置すれば、球を均等に配置できるようになります。球の
直径を１として、真ん中にある球の中心から半径を１とする球面を考えます。周辺の
球の中心はこの球面上にあることになります。 従って、それらの中心座標を球座標
の角度の値を使って表すと以下のようになります。角度の単位である°は省略して
います。
点１→ （ＣＯＳ０ ＳＩＮ９０、ＳＩＮ０ ＳＩＮ９０、ＣＯＳ９０）
点２→ （ＣＯＳ６４ ＳＩＮ９０、ＳＩＮ６４ ＳＩＮ９０、ＣＯＳ９０）
点３→ （ＣＯＳ３２ ＳＩＮ３２、ＳＩＮ３２ ＳＩＮ３２、ＣＯＳ３２）
点４→ （ＣＯＳ３０２ ＳＩＮ５８、ＳＩＮ３０２ ＳＩＮ５８、ＣＯＳ５８）
点５→ （ＣＯＳ３０２ ＳＩＮ１２２、ＳＩＮ３０２ ＳＩＮ１２２、ＣＯＳ１２２）
点６→ （ＣＯＳ３２ ＳＩＮ１４８、ＳＩＮ３２ ＳＩＮ１４８、ＣＯＳ１４８）
点７→ （ＣＯＳ１２２ ＳＩＮ１２２、ＳＩＮ１２２ ＳＩＮ１２２、ＣＯＳ１２２）
点８→ （ＣＯＳ１２２ ＳＩＮ５８、ＳＩＮ１２２ ＳＩＮ５８、ＣＯＳ５８）
点９→ （ＣＯＳ２１２ ＳＩＮ３２、ＳＩＮ２１２ ＳＩＮ３２、ＣＯＳ３２）
点１０→ （ＣＯＳ２４４ ＳＩＮ９０、ＳＩＮ２４４ ＳＩＮ９０、ＣＯＳ９０）
点１１→ （ＣＯＳ２１２ ＳＩＮ１４８、ＳＩＮ２１２ ＳＩＮ１４８、ＣＯＳ１４８）
点１２→ （ＣＯＳ１８０ ＳＩＮ９０、ＳＩＮ１８０ ＳＩＮ９０、ＣＯＳ９０）
それでは、 球面上にある近接する周辺球の中心間の距離を計算してみます。 この
距離が１より小さければ、最大数は１２より小さくなり、 １より大きければ、１２以上と
なります。点１と点２の間の距離Ｌは、
Ｌ＝｛ （ＣＯＳ０ ＳＩＮ９０−ＣＯＳ６４ ＳＩＮ９０）２＋（ＳＩＮ０ ＳＩＮ９０−
ＳＩＮ６４ ＳＩＮ９０）２ ＋（ＣＯＳ９０−ＣＯＳ９０）２ ｝１/２
の式で与えられます。上式を数値的に計算すると、Ｌは約１．０５になります。接する
球の最大数は１２以上ということになります。 但し、Ｌの値は１に比べてあまり大きく
なく、１４以上という結論にはならないと思います。１３個目の球が置けるかどうかを
検討してみます。
図１では真ん中にある球に接するように、六個の球が配置されています。 点Ｏは真
ん中の球の中心で、 点Ａから点Ｆまでが周辺にある球の中心です。 三角形ＡＢＣ、
三角形ＡＣＤ、 三角形ＡＤＥそして三角形ＡＥＦは、 一辺の長さが１の正三角形です
。 点Ｂを中心とする球と点Ｆを中心とする球が接していないことに注意してください。
この為、三角形ＡＦＢは正三角形ではありません（辺ＦＢの長さは約１．０９）。
＜球の配置図、緑が中心球で赤と青が周辺球＞
（図１、Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）
さらに、周辺に配置する球の数を増やして行きます。図２では、図１の六つの球に加
えて新たに六つの球を追加しています（点Ａから点Ｌはそれぞれの球の中心）。中心
間の距離は次の四つのグループに分類できます。
Ｌ１（黒の点線）→ １
Ｌ２（黒の実線）→ 約１．０９
Ｌ３（赤の点線）→ 約１．２４
Ｌ４（赤の実線）→ 約１．１５
＜周辺球の中心配置図、緑が中心球で青が半径１の球面＞
（図２、Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）
以上の結果から、 １３個目の球を置くスペースがないことが判ります（図１のように
、ＣＦまたはＤＦの距離が取れないと新たな球は置けない）。
＜参考＞
ＣＦ＝｛ （ＣＯＳ７０．５ ＳＩＮ６０．０−ＣＯＳ２８２．０ ＳＩＮ６０．０）２＋（ＳＩＮ７０．５
ＳＩＮ６０．０−ＳＩＮ２８２．０ ＳＩＮ６０．０）２ ｝１/２＝１．６７（近似）
ＤＦ＝｛ （ＣＯＳ１４１．０ ＳＩＮ６０．０−ＣＯＳ２８２．０ ＳＩＮ６０．０）２＋（ＳＩＮ１４１．０
ＳＩＮ６０．０−ＳＩＮ２８２．０ ＳＩＮ６０．０）２ ｝１/２＝１．６３（近似）
課題（その１）
中心球の半径Ｒ１と周辺球の半径Ｒ２が異なるとします。 例えば、Ｒ１：Ｒ２＝２：１の
場合、接する周辺球の最大数を求めてください。
課題（その２）
上記の課題で、Ｒ１：Ｒ２＝Ｎ：１とします（Ｎは自然数）。接する周辺球の最大数とＮ
の間の関係を求めてください。